ZKP Understanding Nova 1 MinRoot Example

Kothapalli, Abhiram, Srinath Setty, and Ioanna Tzialla. “Nova: Recursive zero-knowledge arguments from folding schemes.” Annual International Cryptology Conference. Cham: Springer Nature Switzerland, 2022.

Nova: Paper Code

Understanding the MinRoot Example

type E1 = Bn256EngineKZG;
type E2 = GrumpkinEngine;
type EE1 = nova_snark::provider::mlkzg::EvaluationEngine<E1>;
type EE2 = nova_snark::provider::ipa_pc::EvaluationEngine<E2>;
type S1 = nova_snark::spartan::snark::RelaxedR1CSSNARK<E1, EE1>; // non-preprocessing SNARK
type S2 = nova_snark::spartan::snark::RelaxedR1CSSNARK<E2, EE2>; // non-preprocessing SNARK

定义了一些type
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struct MinRootIteration<G: Group> {
x_i: G::Scalar,
y_i: G::Scalar,
x_i_plus_1: G::Scalar,
y_i_plus_1: G::Scalar,
}
这段代码定义了一个名为 MinRootIteration 的结构体，它是用于表示最小根迭代的数据结构。这个结构体需要一个泛型参数 G，这个参数必须实现了 Group trait。
在这个结构体中，我们定义了四个字段，它们都是 G::Scalar 类型。这个类型是由 Group trait 定义的关联类型，通常用于表示一个群的标量值。
具体来说，这四个字段分别是：
x_i：表示当前迭代的 x 值。
y_i：表示当前迭代的 y 值。
x_i_plus_1：表示下一次迭代的 x 值。

y_i_plus_1：表示下一次迭代的 y 值。
这个结构体可能被用于存储和管理在最小根迭代过程中的数据。

impl<G: Group> MinRootIteration<G> {
  // produces a sample non-deterministic advice, executing one invocation of MinRoot per step
  fn new(num_iters: usize, x_0: &G::Scalar, y_0: &G::Scalar) -> (Vec<G::Scalar>, Vec<Self>) {
    // exp = (p - 3 / 5), where p is the order of the group
    // x^{exp} mod p provides the fifth root of x
    let exp = {
      let p = G::group_params().2.to_biguint().unwrap();
      let two = BigUint::parse_bytes(b"2", 10).unwrap();
      let three = BigUint::parse_bytes(b"3", 10).unwrap();
      let five = BigUint::parse_bytes(b"5", 10).unwrap();
      let five_inv = five.modpow(&(&p - &two), &p);
      (&five_inv * (&p - &three)) % &p
    };

为什么这段代码得到 exp = (p - 3) / 5 mod p?

let p = G::group_params().2.to_biguint().unwrap();

从一个类型为 G 的结构体中获取群组参数，并提取第三个元素作为整数 p。
to_biguint().unwrap() 将其转换为大整数类型 (BigUint)。

let two = BigUint::parse_bytes(b”2”, 10).unwrap();

创建一个大整数 two，其值为 2。

let three = BigUint::parse_bytes(b”3”, 10).unwrap();

创建一个大整数 three，其值为 3。

let five = BigUint::parse_bytes(b”5”, 10).unwrap();

创建一个大整数 five，其值为 5。

let five_inv = five.modpow(&(&p - &two), &p);

计算 5 的逆元（模 p 的情况下）。
逆元的计算使用了模幂运算，即 5 的 (p - 2) 次方模 p。

(&five_inv * (&p - &three)) % &p

计算 (&p - &three) 乘以 five_inv 的结果，并对 p 取模。

最终的计算结果被赋值给变量 exp，它表示 (p - 3) / 5 的值，将用于后续的模运算，以获得给定数的五次方根。
关于第5步：
涉及到模运算中的欧拉定理（Euler’s theorem）和费马小定理（Fermat’s little theorem）。
费马小定理表明，如果 p 是一个质数，且 a 是不可被 p 整除的整数，那么 a^{p-1} mod p 等于 1。这是费马小定理的简化版本，而对于逆元的情况，我们可以将 a^{p-1} mod p 表示为 a^{p-2} mod p。
在这里，5^{p-2} mod p 表示的是 5 在模 p 的情况下的逆元。这是因为 p 是一个大于 5 的质数，所以根据费马小定理，5^{p-1} mod p 等于 1，从而 5^{p-2} mod p 就是 5 在模 p 的情况下的逆元。
逆元的概念是一个数在给定模下的乘法逆元，即与该数相乘的结果模该数的模等于 1。在这个场景中，计算 5^{p-2} mod p 就是为了得到 5 在模 p 的情况下的逆元，以便进行后续的乘法操作。

let mut res = Vec::new();
    let mut x_i = *x_0;
    let mut y_i = *y_0;
    for _i in 0..num_iters {
      let x_i_plus_1 = (x_i + y_i).pow_vartime(&exp.to_u64_digits()); // computes the fifth root of x_i + y_i

      // sanity check
      if cfg!(debug_assertions) {
        let sq = x_i_plus_1 * x_i_plus_1;
        let quad = sq * sq;
        let fifth = quad * x_i_plus_1;
        assert_eq!(fifth, x_i + y_i);
      }

      let y_i_plus_1 = x_i;

      res.push(Self {
        x_i,
        y_i,
        x_i_plus_1,
        y_i_plus_1,
      });

      x_i = x_i_plus_1;
      y_i = y_i_plus_1;
    }
    let z0 = vec![*x_0, *y_0];

    (z0, res)
  }

let mut res = Vec::new();

创建一个可变的空向量 res，用于存储计算的结果。

let mut x_i = *x_0;

初始化一个可变变量 x_i，其初始值为 x_0 的值。

let mut y_i = *y_0;

初始化一个可变变量 y_i，其初始值为 y_0 的值。

for _i in 0..num_iters {

开始一个循环，迭代 num_iters 次。

let x_i_plus_1 = (x_i + y_i).pow_vartime(&exp.to_u64_digits());

计算 x_i + y_i 的五次方根，其中 exp 是之前计算得到的指数。

if cfg!(debug_assertions) { ... }

在调试模式下进行断言检查。这里执行了一个“sanity check”（合理性检查），确保计算的结果满足一定的条件。具体地，它验证了 x_i_plus_1 是否满足 (x_i_plus_1)^5 == x_i + y_i。

let y_i_plus_1 = x_i;

计算下一个 y_i 的值，赋值给 y_i_plus_1。

res.push(Self { ... });

将当前循环迭代的结果以结构体的形式存储在向量 res 中。

x_i = x_i_plus_1;

更新 x_i 的值为下一次迭代计算得到的 x_i_plus_1。

y_i = y_i_plus_1;

更新 y_i 的值为下一次迭代计算得到的 y_i_plus_1。

let z0 = vec![*x_0, *y_0]；(z0, res);

循环结束后，创建一个包含初始输入值 x_0 和 y_0 的向量 z0。返回包含 z0 和 res 的元组。
整体而言，这段代码执行了一系列的计算和更新操作，产生了一组结果，这些结果以结构体的形式存储在向量 res 中。在每次迭代中，通过计算 (x_i + y_i)^{1/5}，将 x_i 和 y_i 更新为下一轮迭代的值。在调试模式下，还进行了一个断言检查，确保计算的结果符合预期的数学性质。

#[derive(Clone, Debug)]
struct MinRootCircuit<G: Group> {
  seq: Vec<MinRootIteration<G>>,
}

impl<G: Group> StepCircuit<G::Scalar> for MinRootCircuit<G> {
  fn arity(&self) -> usize {
    2
  }

  fn synthesize<CS: ConstraintSystem<G::Scalar>>(
    &self,
    cs: &mut CS,
    z: &[AllocatedNum<G::Scalar>],
  ) -> Result<Vec<AllocatedNum<G::Scalar>>, SynthesisError> {
    let mut z_out: Result<Vec<AllocatedNum<G::Scalar>>, SynthesisError> =
      Err(SynthesisError::AssignmentMissing);

    // use the provided inputs
    let x_0 = z[0].clone();
    let y_0 = z[1].clone();

    // variables to hold running x_i and y_i
    let mut x_i = x_0;
    let mut y_i = y_0;
    for i in 0..self.seq.len() {
      // non deterministic advice
      let x_i_plus_1 =
        AllocatedNum::alloc(cs.namespace(|| format!("x_i_plus_1_iter_{i}")), || {
          Ok(self.seq[i].x_i_plus_1)
        })?;

      // check the following conditions hold:
      // (i) x_i_plus_1 = (x_i + y_i)^{1/5}, which can be more easily checked with x_i_plus_1^5 = x_i + y_i
      // (ii) y_i_plus_1 = x_i
      // (1) constraints for condition (i) are below
      // (2) constraints for condition (ii) is avoided because we just used x_i wherever y_i_plus_1 is used
      let x_i_plus_1_sq = x_i_plus_1.square(cs.namespace(|| format!("x_i_plus_1_sq_iter_{i}")))?;
      let x_i_plus_1_quad =
        x_i_plus_1_sq.square(cs.namespace(|| format!("x_i_plus_1_quad_{i}")))?;
      cs.enforce(
        || format!("x_i_plus_1_quad * x_i_plus_1 = x_i + y_i_iter_{i}"),
        |lc| lc + x_i_plus_1_quad.get_variable(),
        |lc| lc + x_i_plus_1.get_variable(),
        |lc| lc + x_i.get_variable() + y_i.get_variable(),
      );

      if i == self.seq.len() - 1 {
        z_out = Ok(vec![x_i_plus_1.clone(), x_i.clone()]);
      }

      // update x_i and y_i for the next iteration
      y_i = x_i;
      x_i = x_i_plus_1;
    }

    z_out
  }
}

MinRootCircuit 结构体：

定义了一个包含 MinRootIteration 结构体的向量 seq 的结构体。
实现了 Clone 和 Debug trait，使得该结构体可以被克隆和打印调试信息。

StepCircuit trait 实现：

该 trait 提供了电路执行的接口，用于计算电路的输出。
arity 方法返回电路的输入数量，这里是2。
synthesize 方法用于在给定的约束系统 CS 上执行电路的计算。

synthesize 方法具体实现：

创建一个用于保存输出的 Result 对象 z_out，初始值为 Err(SynthesisError::AssignmentMissing)。
通过模式匹配和 let 语句从输入数组 z 中获取两个输入 x_0 和 y_0。
使用 for 循环遍历迭代序列 self.seq 中的元素。
在循环中：
- 使用 AllocatedNum::alloc 创建一个新的分配数字 x_i_plus_1，其值来自于 self.seq[i].x_i_plus_1。
- 根据给定的条件，执行一些约束操作，确保 (x_i + y_i)^{1/5} = x_i_plus_1。
- 如果当前迭代是最后一次迭代，将 z_out 更新为包含 x_i_plus_1 和 x_i 的 Ok 值。
- 更新 x_i 和 y_i 为下一次迭代做准备。

返回最终的 z_out。

fn main() {
  println!("Nova-based VDF with MinRoot delay function");
  println!("=========================================================");

  let num_steps = 10;
  for num_iters_per_step in [1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536] {
    // number of iterations of MinRoot per Nova's recursive step
  ...
}

测试代码的主循环，分别设置每Nova递归步长MinRoot的迭代次数num_iters_per_step为[1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536]

let circuit_primary = MinRootCircuit {
      seq: vec![
        MinRootIteration {
          x_i: <E1 as Engine>::Scalar::zero(),
          y_i: <E1 as Engine>::Scalar::zero(),
          x_i_plus_1: <E1 as Engine>::Scalar::zero(),
          y_i_plus_1: <E1 as Engine>::Scalar::zero(),
        };
        num_iters_per_step
      ],
    };

    let circuit_secondary = TrivialCircuit::default();

    println!("Proving {num_iters_per_step} iterations of MinRoot per step");

参考资料：https://www.youtube.com/watch?v=gopJn_QAdqU
circuit_primary 是业务电路，具体为MinRootCircuit。
circuit_secondary是trivial电路，被初始化为TrivialCircuit的default值。

初始化x_i ,y_i ,x_i_plus_1 ,y_i_plus_1 都初始化为0

// produce public parameters
let start = Instant::now();
println!("Producing public parameters...");
let pp = PublicParams::<
  E1,
  E2,
  MinRootCircuit<<E1 as Engine>::GE>,
  TrivialCircuit<<E2 as Engine>::Scalar>,
>::setup(
  &circuit_primary,
  &circuit_secondary,
  &*S1::ck_floor(),
  &*S2::ck_floor(), 
);
println!("PublicParams::setup, took {:?} ", start.elapsed());

在创建 PublicParams 实例的过程中，我们调用了 PublicParams::setup 方法。这个方法接受四个参数：circuit_primary、circuit_secondary、S1::ck_floor() 和 S2::ck_floor()。这四个参数分别表示主从电路，以及两个不同引擎的公共参数。
ck: CommitmentKey
- Some final compressing SNARKs, like variants of Spartan, use computation commitments that require larger sizes for these parameters. These SNARKs provide a hint for these values by implementing RelaxedR1CSSNARKTrait::ck_floor(), which can be passed to this function.

// produce non-deterministic advice
let (z0_primary, minroot_iterations) = MinRootIteration::<<E1 as Engine>::GE>::new(
  num_iters_per_step * num_steps,
  &<E1 as Engine>::Scalar::zero(),
  &<E1 as Engine>::Scalar::one(),
);
let minroot_circuits = (0..num_steps)
  .map(|i| MinRootCircuit {
    seq: (0..num_iters_per_step)
      .map(|j| MinRootIteration {
        x_i: minroot_iterations[i * num_iters_per_step + j].x_i,
        y_i: minroot_iterations[i * num_iters_per_step + j].y_i,
        x_i_plus_1: minroot_iterations[i * num_iters_per_step + j].x_i_plus_1,
        y_i_plus_1: minroot_iterations[i * num_iters_per_step + j].y_i_plus_1,
      })
      .collect::<Vec<_>>(),
  })
  .collect::<Vec<_>>();

let z0_secondary = vec![<E2 as Engine>::Scalar::zero()];

首先，我们调用了 MinRootIteration::new 方法来创建一个新的 MinRootIteration 实例，这个实例包含了 z0_primary 和 minroot_iterations 两个部分。MinRootIteration::new 方法接受三个参数：num_iters_per_step * num_steps，::Scalar::zero() 和 ::Scalar::one()。表示我们要进行 num_iters_per_step * num_steps 次的最小根迭代，初始的 x 值为 0，初始的 y 值为 1。
然后，我们创建了一个名为 minroot_circuits 的向量，这个向量包含了 num_steps 个 MinRootCircuit 实例。每个 MinRootCircuit 实例都包含了一个 seq 字段，这个字段是一个向量，包含了 num_iters_per_step 个 MinRootIteration 实例。每个 MinRootIteration 实例都是从 minroot_iterations 向量中取出的，取出的方式是通过计算 i * num_iters_per_step + j 来获取索引。

最后，我们创建了一个名为 z0_secondary 的向量，这个向量只包含了一个元素，这个元素是 ::Scalar::zero()。这可能表示在第二个引擎中，我们的初始 z 值为 0。


type C1 = MinRootCircuit<<E1 as Engine>::GE>;
type C2 = TrivialCircuit<<E2 as Engine>::Scalar>;
// produce a recursive SNARK
println!("Generating a RecursiveSNARK...");
let mut recursive_snark: RecursiveSNARK<E1, E2, C1, C2> =
  RecursiveSNARK::<E1, E2, C1, C2>::new(
    &pp,
    &minroot_circuits[0],
    &circuit_secondary,
    &z0_primary,
    &z0_secondary,
  )
  .unwrap();

for (i, circuit_primary) in minroot_circuits.iter().enumerate() {
  let start = Instant::now();
  let res = recursive_snark.prove_step(&pp, circuit_primary, &circuit_secondary);
  assert!(res.is_ok());
  println!(
    "RecursiveSNARK::prove_step {}: {:?}, took {:?} ",
    i,
    res.is_ok(),
    start.elapsed()
  );
}

首先定义了两种类型别名 C1 和 C2，分别对应 MinRootCircuit 和 TrivialCircuit 结构体。这两个结构体都需要一个泛型参数，分别是 E1 和 E2 引擎的关联类型。
然后，我们创建了一个名为 recursive_snark 的 RecursiveSNARK 实例。RecursiveSNARK 是一个泛型结构体，需要四个类型参数：E1、E2、C1 和 C2。在创建 RecursiveSNARK 实例的过程中，我们调用了 RecursiveSNARK::new 方法。这个方法接受五个参数：pp、minroot_circuits[0]、circuit_secondary、z0_primary 和 z0_secondary。这五个参数分别表示公共参数、主电路、次电路，以及两个初始的 z 值。
接下来，我们遍历 minroot_circuits 向量中的每一个元素。对于每一个元素，我们都调用了 recursive_snark.prove_step 方法。这个方法接受三个参数：pp、circuit_primary 和 circuit_secondary，并返回一个 Result 类型的值，表示证明步骤的结果。如果证明步骤成功，Result 的值将是 Ok；如果失败，Result 的值将是 Err。

最后，我们使用 assert! 宏来检查 Result 的值。如果 Result 的值是 Err，assert! 宏将会触发一个 panic，程序将会终止运行。我们还使用 println! 宏来打印出每一步证明的结果和所花费的时间。

// verify the recursive SNARK
println!("Verifying a RecursiveSNARK...");
let start = Instant::now();
let res = recursive_snark.verify(&pp, num_steps, &z0_primary, &z0_secondary);
println!(
  "RecursiveSNARK::verify: {:?}, took {:?}",
  res.is_ok(),
  start.elapsed()
);
assert!(res.is_ok());
- 验证 RecursiveSNARK 
// produce a compressed SNARK
    println!("Generating a CompressedSNARK using Spartan with multilinear KZG...");
    let (pk, vk) = CompressedSNARK::<_, _, _, _, S1, S2>::setup(&pp).unwrap();

    let start = Instant::now();

    let res = CompressedSNARK::<_, _, _, _, S1, S2>::prove(&pp, &pk, &recursive_snark);
    println!(
      "CompressedSNARK::prove: {:?}, took {:?}",
      res.is_ok(),
      start.elapsed()
    );
    assert!(res.is_ok());
    let compressed_snark = res.unwrap();

    let mut encoder = ZlibEncoder::new(Vec::new(), Compression::default());
    bincode::serialize_into(&mut encoder, &compressed_snark).unwrap();
    let compressed_snark_encoded = encoder.finish().unwrap();
    println!(
      "CompressedSNARK::len {:?} bytes",
      compressed_snark_encoded.len()
    );

    // verify the compressed SNARK
    println!("Verifying a CompressedSNARK...");
    let start = Instant::now();
    let res = compressed_snark.verify(&vk, num_steps, &z0_primary, &z0_secondary);
    println!(
      "CompressedSNARK::verify: {:?}, took {:?}",
      res.is_ok(),
      start.elapsed()
    );
    assert!(res.is_ok());

证明/验证CompressedSNARK。
[] 遗留问题：
[] PrimaryCircuit 和 SecondaryCircuit
[] RecursiveSNARK 和 CompressedSNARK